OEF 3维向量 --- 介绍 ---

本模块目前有 19 个有关 3 维向量的练习 (线性组合, 角, 长度, 内积, 外积, 混合积等).

平行四边形面积

计算欧几里德空间内由以下 4 个向量的终点构成的平行四边形的面积:

(,,) , (,,) , (,,) , (,,) .

三角形面积

计算欧几里德空间内由以下 3 个向量构成的三角形的面积:

(,,) , (,,) , (,,) .

角

空间有 3 个点:

, , .

计算角 (以度为单位, 取值在 0 与 180 之间).

组合

设

v1 = (,,) , v2 = (,,) , v3 = (,,)

是空间的 3 个向量, 计算向量

v = .

2个向量的组合

设

v1 = (,,) , v2 = (,,)

是空间的 2 个向量, 计算向量

v = .

4个向量的组合

设

v1 = (,,) , v2 = (,,) , v3 = (,,) , v4 = (,,)

是空间的 4 个向量, 计算向量

v = .

求向量的组合

设

v1 = (,,) , v2 = (,,) , v3 = (,,)

是空间的 3 个向量, v=(,,) 是另一向量. 试把 v 表示成 v1, v2 与 v3 的线性组合:

v = av1 + bv2 + cv3 .

求两个向量的组合

设

v1 = (,,) , v2 = (,,)

是空间的 2 个向量, v=(,,) 是另一向量. 试把 v 表示成 v1 和 v2 的线性组合:

v = av1 + bv2 .

已知内积

设

v1 = (,,) , v2 = (,,) , v3 = (,,)

是空间的 3 个向量, 求向量 v 使它有以下的内积:

<v,v1> = , <v,v2> = , <v,v3> = .

已知外积

设 u=(,,) 是空间向量. 求向量 v=(,b,c) 使它有以下的外积

u v = (,,) .

外积与长度

设 u=(,,) 是空间向量. 向量 v 垂直于 u. 已知 v 的长等于 , 问外积 u v 的长是多少?

外积与长度 II

设 u=(,,) 是空间向量. 向量 v 的长度是. 已知内积 <u,v> = , 问外积 u v 的长是多少?

平行四边形的顶点

在欧几里德空间里有一个平行四边形 ABCD, 其中 3 个顶点的坐标是

A = (,,) , B = (,,) , C = (,,) .

计算第 4 个顶点 D 的坐标.

与两个向量垂直

设

v1 = (,,) , v2 = (,,)

是两个空间向量. 向量 v=(a,b,) 同时垂直于 v1 和 v2. 求向量 v ?

垂直与外积

设 u=(,,) 是空间向量. 求与 u 垂直的向量 v, 使得其外积是 u v = (,,).

线性关系

我们有 4 个空间向量:

v1 = (,,) , v2 = (,,) , v3 = (,,) , v4 = (,,) .

求 4 个整数 a,b,c,d 使得

a v1 + b v2 + c v3 + d v4 = 0 ,

但这些整数 a,b,c,d 不全为零.

内积与外积

设 u=(,,) 是空间向量. 求向量 v 使其内积为 <u,v> = , 外积为 u v = (,,).

平行六面体体积

计算空间平行六面体的体积, 其顶点 A = (,,), 其它 3 个与 A 相邻的顶点是

B = (,,) , C = (,,) , D = (,,) .

四面体体积

计算空间四面体的体积, 其 4 个顶点是

A = (,,) , B = (,,) , C = (,,) , D = (,,) .

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