Cocher tous les états accessibles à partir de l'état (s'il n'y en a pas, cocher "aucun des états").
On dispose d'un automate qui reconnait le motif = suivant :
1- Compléter le tableau suivant en donnant l'état de l'automate après la lecture d'un chiffre en fonction de l'état de l'automate avant cette lecture.
avant la lecture \ chiffre lu | |
---|---|
état |
état \ chiffre lu | |
---|---|
NB :
s |
---|
On suppose que les chiffres sucessivement émis constituent une chaîne de Markov homogène dont la matrice de transition est :
?
1- Déterminer la loi conditionnelle de sachant que .
P( = | = ) |
---|
Bonne réponse ! on a bien
P(
=
|
= )
s | |
---|---|
P( = ) |
Déterminer la loi de
P( = ) |
---|
NB: le caractère * désigne un coefficient non nul
Cocher tous les états récurrents (s'il n'y en a pas, cocher "aucun des états").
Cocher tous les états qui communiquent avec l'état (s'il n'y en a pas, cocher "aucun des états").
Pour , on note le nombre de particules dans le compartiment A à l'instant . On peut montrer que la suite est une chaîne de Markov homogène. Donner sa matrice de transition.
NB :
La chaîne est-elle irréductible ?
Donner les coefficients d'une loi probabilité invariante pour cette chaîne.
NB :
1- Cette chaîne de Markov admet-elle une loi de probabilité réversible ?
2- Donner les coefficients d'une loi de probabilité invariante pour cette chaîne.
On considère le graphe représenté ci-dessous :
Une fourmi se déplace sur le graphe de la façon suivante : arrivée à un sommet, elle choisit au hasard une arête partant de ce sommet et la parcourt jusqu'à atteindre un autre sommet.
Donner la matrice de transition de la chaîne de Markov décrivant la suite des sommets visités par la fourmi.
NB : pour écrire la matrice, énumérer successivement les coefficients de chaque ligne en les séparant par des virgules et passer à la ligne pour écrire les coefficients de la ligne suivante.
Pour faire avancer le pion, on lance un dé à faces numérotées de 1 à et on avance le pion d'un nombre de cases égal au nombre obtenu avec le dé. Le jeu s'arrête lorsque le pion tombe exactement sur la case . Sinon le pion recule.
Par exemple, si le pion se trouve sur la case et si le dé tombe sur 3, le pion va à la case . Si au coup suivant, le dé tombe sur 1, le pion retourne sur la case .
Les positions successives du pion définissent une chaîne de Markov sur les entiers de 1 à . On supposera que lorsque le jeu s'arrête, les positions suivantes du pion sont toujours .
1- Donner la matrice de transition de cette chaîne de Markov.
NB :
Bonne réponse : la matrice de transition de cette chaîne de Markov est bien :
2- Dans le véritable jeu de l'oie, toutes les cases ne sont pas identiques. On modifie le plateau du jeu en supposant que la case est une case "oubliette", ce qui signifie que si le pion tombe sur cette case, il y reste indéfiniment.
Déterminer la matrice de transition de la chaîne de Markov qui décrit les positions successsives du pion sur ce nouveau plateau.
Pour faire avancer le pion, on lance un dé à faces numérotées de 1 à et on avance le pion d'un nombre de cases égal au nombre obtenu avec le dé. Le jeu s'arrête lorsque le pion tombe exactement sur la case . Sinon le pion refait un tour.
Par exemple, si le pion se trouve sur la case et si le dé tombe sur 2, le pion va à la case 1.
Les positions successives du pion définissent une chaîne de Markov sur les entiers de 1 à . On supposera que lorsque le jeu s'arrête, les positions suivantes du pion sont toujours .
1- Donner la matrice de transition de cette chaîne de Markov.
NB :
Bonne réponse : la matrice de transition de cette chaîne de Markov est bien :
2- Dans le véritable jeu de l'oie, toutes les cases ne sont pas identiques. On modifie le plateau du jeu en supposant que la case est une case "oubliette", ce qui signifie que si le pion tombe sur cette case, il y reste indéfiniment.
Déterminer la matrice de transition de la chaîne de Markov qui décrit les positions successsives du pion sur ce nouveau plateau.
Calculer la probabilité que la chaîne de Markov partie de l'état réussisse à atteindre l'état .
Que peut-on dire du comportement de la suite lorsque tend vers dans la situation suivante ?
Votre réponse :
Que peut-on dire de l'état dans la situation suivante ?
Votre réponse :
Combien a-t-elle de mesures de probabilité invariantes ?
L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?
1- Sachant que le -ième chiffre émis est , quelle est la probabilité que les chiffres suivants soient dans l'ordre ?
2- Sachant que le -ième chiffre émis est , quelle est la probabilité que le -ième chiffre émis soit ?
3- Sachant que le -ième chiffre émis est et que le -ième chiffre émis est , quelle est la probabilité que le -ième chiffre émis soit ?
Sachant que la suite de chiffres émise par la source commence par , combien de chiffres la suite aura-t-elle, en moyenne , à la apparition de ?
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